中学受験って厳しい?28年度の算数問題【横浜南】

受験シーズンが終わりましたね。
皆さんに桜が咲いていると信じています(*^_^*)

今年の中学入試問題というのをやってみよう!
横浜市の中高一貫中学校の入試問題に息子が挑んでみました。

やってみたのは、横浜南高等学校附属中学校の入試問題。
今年の問題、正答率が悪すぎたらしく、ちょっと話題になっておりまして。

どんな問題だろう?と興味が湧いたのです。
挑戦したのはうちの次男(小5)

横浜南高等学校附属中学校のHPから入試問題がダウンロードできます。
(注:適性検査は、著作権の関係上表示されない問題・資料があります。)

ダウンロードはこちらから↓
[blogcard url=”http://www.edu.city.yokohama.jp/sch/hs/minami/jhs/boshuuyoukou.html”]

実際の制限時間で解きました。

適性検査Ⅱの結果は30/200点・・・。

適性検査Ⅱを直接ダウンロードする場合はこちら↓
[blogcard url=”http://www.edu.city.yokohama.jp/sch/hs/minami/jhs/28tekisei2.pdf”]

なにこれ、難しい!!

問題というものは、やったら終わりではありません。
息子と、両親と、兄と、娘(合の手担当)総掛かりで検証してみました。

大問1・図形

しょっぱなからつまづきました。

こんな問題です。一緒に考えてください。

問題1:

たてに3個、横に3個、同じ大きさの正方形をすきまなく並べました。
なるべく多くの正方形を通るように直線を1本引くとき、この直線が通る正方形の個数を答えなさい。
ただし、直線が正方形の頂点 てん だけを通る場合と、直線が辺にぴったりと重なる場合は、
その正方形を通っていないものとします。

問題2:

たてに4個、横に7個、同じ大きさの正方形をすきまなく並べて、長方形を作りました。
この長方形に対角線を1本引くとき、この対角線が通る正方形の個数を答えなさい。
ただし、対角線が正方形の頂点だけを通る場合は、その正方形を通っていないものとします。

問題3:

同じ大きさの正方形216個をすきまなく並 なら べて、横に長い長方形を作りました。
この長方形に対角線を1本引くと、この対角線が通る正方形は全部で24個になりました。
このとき、たてに並べた正方形の個数を答えなさい。
ただし、対角線が正方形の頂 ちょう 点 てん だけを通る場合は、その正方形を通っていないものとします。

 

ここでもうすでにパーンなってるんですが・・・・。
それでも、ここまでは無理やり図面に線を引くなどすれば、解けなくはありません。

たぶん・・・。
結構時間かかったけど。

しかし、適性検査Ⅱは45分ということを考えると、大問1に10分程度しかかけることができません。
そして、問題6まであります。
つまり、問題3までは、さらっと3分程度で解く・・・・・・・・・・無理だ!!

じゃあ、答えにいきましょう!!



(答えが書いてありますよ~)


[aside type=”normal”]
簡単な解法

たて○個,横△個の正方形をならべて,○と△が互いに素な場合,対角線が通過する正方形の個数は
(○+△-1)個

[/aside]

 

よって答えは
問題1:5個
問題2:10個

この簡単な解法、意味わかりましたか?
何か、法則がああるはずだ!!と思って探したこのブログに詳しく書いてありました。
[blogcard url=”http://edupastaff.blog82.fc2.com/blog-entry-57.html”]

へぇぇぇぇぇ。
一つ賢くなったね。

じゃあ、問題3を問いてみます。
ちなみに問題3の答えは12個

力技でごりごり図を書けば解けなくはありません。実際にはそんな時間ないですけど。

で、頭の悪い母がやった方法はゴリゴリ書く、なんですが、
なんとかこうじゃないかと考えてみました。

====================================
問題3は、まず216個の正方形を並べて長方形を作らなくてはならず、
そのパターンがいくつあるかを見つけることが必要です。

ここで、因数分解するんですね。
あの、変な記号を使ってやりました。 )_←こういうやつね。使い方覚えてたよ。

216は2×2×2×3×3×3です。
単純に、この時、この式は、2×3×(2の二乗)×(3の二乗)となるので、
素になる数で作ることのできる一番小さい長方形は、2×3になります。

この長方形の場合は4個の正方形を通ります。
単純に考えて、(2の二乗)×(3の二乗)つまり、(2×3)×(2×3)=6の二乗。

どうして二乗をわざわざ考えたかというと、対角線を引くからです。
面積は二乗倍ですよね?

問題の長方形では、24個の正方形を通ります。
4×6=24
ということで、2×6と3×6の辺でできた長方形ということがわかります。

そして、横に長い長方形ですので、縦は12個、答え12個となるのです。

合ってますか?
わかった人、これで合っているか教えてください!!!
==================================

では、問題4へ・・・。

同じ大きさの立方体8個をすきまなく並べたり重ねたりしました。
なるべく多くの立方体を通るようにまっすぐな針 はり 金 がね をさすと、
【図4】のように、針金は最大で4個の立方体を通ることがわかりました。

【図5】のように、同じ大きさの立方体27個をすきまなく並べたり重ねたりしました。
なるべく多くの立方体を通るように、まっすぐな針金をさすとき、この針金が通る立方体の個数を答えなさい。

ただし、針金の太さは考えないものとし、針金が立方体の頂点だけを通る場合、辺上の点だけを通る場合、
辺にぴったりと重なる場合は、その立方体を通っていないものとします。

どうですか?解けましたか?

とにかく、立体図に針金をさした絵を書いて、力技でなんとかしようとしましたが、確信が持てないのです。
うちは家族総動員で数はわかったのですが、何故そうなるのか納得できる説明はできませんでした。

平面図での式があるのですから、立体でもやはり、法則があるはずです!!
平面が立体になったと言っても、やはり、同じなんです。

なので、(2+2+2)+1=7になります。(辺は互いに素であるという前提に合っている。)

問題4の答え:7個

・・・という理屈は分かるんですが、やっぱり頭がクラクラしてきました。

ちなみに、こちらの説明が詳しいです。
[blogcard url=”http://edupastaff.blog82.fc2.com/blog-entry-59.html”] 詳しいと言っても、理解するのに小1時間かかったんですけどねΣ(・∀・;)

試験、間に合いませんやん(爆)

そして、このあとにもう2問あるのですが、気力が尽きました。

(問題6は更に大きくした立体なので飛ばします。)

問題7:

1辺の長さが60cm の立方体の中に、たての長さが3cm、横の長さが5cm、高さが4cm の直方体を同じ向きにすきまなく入れました。
この立方体の頂点Aから頂点Bまでまっすぐな針金でさすとき、この針金が通る直方体の個数を答えなさい。
ただし、針金の太さは考えないものとし、針金が直方体の頂点だけを通る場合と、辺上の点だけを通る場合は、
その直方体を通っていないものとします。

↑いちおうかきましたが、めっちゃ時間かかります・・・。

っていうか、こんな問題問いてるんだね・・・。
中受おそるべし!!